1. 塞瓦定理
塞瓦定理 設(shè)O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)， AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 證法簡介 （Ⅰ）本題可利用梅涅勞斯定理證明： ∵△ADC被直線BOE所截， ∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ① 而由△ABD被直線COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/BF)=1② ②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （Ⅱ）也可以利用面積關(guān)系證明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn): 設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F， 根據(jù)塞瓦定理逆定理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/ [(AE*ctgB)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。
2. 塞瓦定理證明
該定理是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。
塞西是意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家。塞西定理載于塞西于1678年發(fā)表的《直線論》一書，也有書中說塞西定理是塞瓦重大發(fā)現(xiàn)。塞西定理記憶方法：三頂點(diǎn)選一個作為起點(diǎn)，定一方向，繞一圈，三組比例相乘為一。
3. 塞瓦定理如何證明
應(yīng)該是塞瓦定理。是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。
塞瓦(Giovanni Ceva，1648~1734)意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家。塞瓦定理載于塞瓦于1678年發(fā)表的《直線論》一書，也有書中說塞瓦定理是塞瓦重大發(fā)現(xiàn)。
塞瓦定理記憶方法：三頂點(diǎn)選一個作為起點(diǎn)，定一方向，繞一圈，三組比例相乘為一。
4. 塞瓦定理逆定理證明
可利用梅涅勞斯定理（簡稱梅氏定理）證明：
∵△ADC被直線BOE所截，
∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①
∵△ABD被直線COF所截，
∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②
②/①約分得：
(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1
（Ⅱ）也可以利用面積關(guān)系證明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ ，AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
5. 塞瓦定理逆定理
不成立。
已知：O是⊙O的圓心,A、B在圓上,OA⊥AP,OB⊥BP
求證：PA=PB,∠APO=∠BPO
上面就是“切線長定理”,當(dāng)然是成立的.
但它的逆命題并不成立,也就無法證明.只能舉反例.
事實(shí)上, 符合“O是⊙O的圓心,A、B在圓上,PA=PB,∠APO=∠BPO”這個條件的A、B點(diǎn)有無數(shù)個.
如圖可見：A1、B1是一對滿足條件的點(diǎn),A2、B2是另外一對.有無數(shù)對這樣的點(diǎn).
只要在直線OP上的⊙O內(nèi)的部分（⊙O的直徑）上任意取點(diǎn)M,過M作OP的垂線L,直線L交⊙O于A、B,連接OA、OB、PA、PB,就一定有PA＝PB,∠APO＝∠BPO,顯然這樣的點(diǎn)A、B有無數(shù)對,其中只有一對能滿足OA⊥AP,OB⊥BP （圖中的A、B）
6. 塞瓦定理 女神異聞錄
梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的.它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn),那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1.或：設(shè)X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上,則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 .
塞瓦定理：在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O,直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F,則 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
本題可利用梅涅勞斯定理證明：
∵△ADC被直線BOE所截,
∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1
而由△ABD被直線COF所截,
∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1
7. 塞瓦定理和梅涅勞斯定理的區(qū)別
證法1 平行線法
證法2 共邊定理法
證法3 共角定理法